Als generelle Info:
"Wer stellt den Sozialversicherungsausweis aus?
Der Sozialversicherungsausweis wird automatisch ausgestellt wenn Sie eine Sozialversicherungsnummer erhalten.Die erstmalige Ausstellung des Ausweises mit Vergabe der Versicherungsnummer veranlasst die Krankenkasse oder die Mini-Job-Zentrale beim Rentenversicherungsträger aufgrund der Meldung ihres Arbeitgebers. Die Ausstellung erfolgt somit automatisch und muss nicht speziell von ihnen veranlasst werden. Der Ausweis wird ihnen dann per Post zugeschickt.
In Ausnahmefällen können sie die erstmalige Ausstellung des Sozialversicherungsausweises unter Vorlage ihrer Geburtsurkunde beim Rentenversicherungsträger veranlassen."
Ansonsten .. wg. der Versicherung .. ich würde nich zwingend nach der günstigsten Versicherung gehen, sondern nach der, die das beste Leistungspaket hat. Aktuell ist hier u.a. die TKK vorne mit dabei; DAK und Barmer sind auch in Sachen Leistung auch noch recht brauchbar .. ebenfalls die Mobil Oil. Schwenniger BBK hat auch noch ansatzweise gute Noten .. abraten würde ich eher von der AOK.
Du kannst Dich auch jetzt erst einmal für eine entscheiden und Dich dann in aller Ruhe informieren, wo Du dann meinst am Besten aufgehoben sein zu können. Eine Versicherung kannst Du jeweils mit einer Frist von 3 Monaten zum Jahresende kündigen (nach Ablauf eines vollen Versicherungsjahres).
Und wie oben beschrieben, hast Du dann erst einmal Deine Versicherung, bekommst Du auch automatisch Deinen Soziausweis.