Mathe-Problem

rossi

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Hi Leute,
ist zufällig jemand von Euch fit in Mathe? Hätte da nämlich ne Frage zu dem Monotonieverhalten von Graphen der 1. Ableitungsfunktion. Ist also wohl aus dem Themenbereich der Infinitesimalrechnung. Wär nett, wenn sich jemand erbarmen würde.

Danke
rossi :knockout:
 
Mit Monotonie kann ich dienen, aber vom 1. Ableitungsgesetz oder der Infinitesimalrechnung habe ich noch nie gehört? Wozu brauchst du das denn?
 
Geht mir so wie Dir....
Wie Du erraten kanst, brauche ich das selber nicht :bigsmile:

Aber meine Freundin soll über den Mist ein Referat halten. Das Thema heißt:

"Monotonieverhalten mittels Graphen der ersten Ableitungfunktion" :nut:

Und bei mir ist das echt schon zu lange her... Ich raff da gar nix mehr. Ich würde ihr halt gerne den Einstieg zu ner Gliederung liefern. Sie ist echt schon ganz schön verzweifelt. (Kann ich verstehen, war ich in Mathe auch immer).
 
Mit der ersten Ableitung einer Funktion wird doch die Steigung derer ausgerechnet. Aber mir sagt die Monotonie nichts :bigsmile:

Infinitesimal heißt nichts anderes wie in der Flächenberechnung mittels Integralrechnung (oder war es doch Differenzial?) den Wert gegen Null gehen zu lassen. Man nimmt einen infinitesimale Breite sprich die zwei Werte liegen eigentlich gedanklich schon aufeinander, aber dennoch nebeneinander (Mathematiker haben nen Knall :bigsmile: ) = Infinitesimal!

EDIT:
Hab grad mal nochmals geschaut, kann es sein, dass einfach das Monotonieverhalten bei einer Funktion bzw. einfach bei der grafischen Darstellung der ersten Ableitung einer Funktion gefragt ist? Aus einer Parabel wird ja eine Gerade usw.!

Monotonie beschreibt ja nur, dass wenn ein weiterer Abszissenwert kleiner als der vorherige ist, auch die Ordinate kleiner sein muss und das dann monoton fallend ist, bzw. wenn die Kurve anders herum läuft sich Ordinate und Abszisse ständig erhöhen und eine monontone positive Steigung vorhanden ist!
 
@ Rossi:

Deine Freundin muss über ihre Mathehausaufgaben referieren!? Wie alt ist sie denn? :bigsmile:
 
wenn ich mich recht erinnere, kann man anhand der Tangentensteigungsfunktion das Monotonieverhalten eines Graphen bestimmen, oder?

y=mx+b

wobei das m die wichtigste Komponente ist, also der Koeffizient zu x. Der errechnet sich aus dem Quotienten der Differenz der Y-Werte im Verhältnis zu den x-Werten.

m= (y2-y1)/(x2-x1)

Am leichtesten kann man sich das vorstellen, wenn man in der Kurve so ein läppisches Steigungsdreieck einzeichnet. und die beiden "Katheten" ins Verhältnis zueinander setzt.

Das Vorzeichen des Koeffizienten bestimmt dann, ob die Kurve steigend (+) oder fallend (-) ist.

Ich denke, es dürfte ungefähr darum gehen, oder?
 
perfect007 hat folgendes geschrieben:


EDIT:

Hab grad mal nochmals geschaut, kann es sein, dass einfach das Monotonieverhalten bei einer Funktion bzw. einfach bei der grafischen Darstellung der ersten Ableitung einer Funktion gefragt ist? Aus einer Parabel wird ja eine Gerade usw.!

Bingo... ich schätze genau das ist die konkrete Problematik. Ich hab mir das so gedacht, daß man zunächst einmal beschreibt:

1. Was ist Monotonie in der Mathematik
a) streng monotones fallen / steigen
b) monotones fallen / steigen
c) Beispiele (Bilder von entsprechenden Graphen)

2. Was ist die Ableitung einer Funktion?
a) generell "ableiten"
b) Spezialfall der "ersten Ableitung"

... aber dabei hänge ich, da ich mit diesen mistigen Ableitungsfunktionen gar nicht mehr zurecht komme. Kannst Du mir sagen, ob der Anfang der Überlegungen so denkbar ist?

Sag mal hattest Du Mathe-Leistungskurs? :eek:

@jojo: Meine Freundin ist sicherlich jünger als Deine Mutter! Also keine Angst! :bigsmile:

EDIT:
@partykiller: Auch Du mein Sohn Brutus????? Seid wohl alle so kleine Formel-Füchse... :p
 
Ich habe eine Realschulabschluss :D .. also gab es bei mir keinen LK. Aber mittlerweile ja Fachhochschulreife und bin am studieren. Leider wurde ich in meinem Studium (Kommunikations- und Informationstechnik) übelst mit Mathematik geplagt und immerhin hat der Prof es soweit gebracht, auch wenn ich mit nem 3er rauslief, dass etwas hängen blieb.

Ich denke deine Gliederung ist soweit vom inhaltlichen Ablauf gut. Kann man dann mit entsprechender Ausführung sicherlich nachvollziehen.

Und was ist nun das Problem mit den Ableitungen?
 
@perfekt:
Siehst Du meine Freundin machts genauso. Erst mittlere Reife, und jetzt auf der BOS um das Abitur nachzuholen...

Also.. das Prob mit den Ableitungen, ist das folgende:

Ich weiß gar nicht mehr genau, was so eine Ableitung überhaupt ist, und wozu man das eigentlich braucht. Und daher stellt sich natürlich für mich auch die Frage, was diese "erte Ableitung" einer Gleichung mit der Monotonie zu tun hat. Also: Gibt es bei der ersten Ableitung immer ein vorhersagbares Monotonieverhalten? Gibt es da eine bestimmte Regelmäßigkeit hinsichtlich des Monotonieverhaltens? Ansonsten würde doch das Thema des Fachreferates keinen Sinn machen, oder?
 
Da hast du recht, nur leider kann ich mir keinen expliziten Zusammenhang mit der 1. Ableitung erkennen, also keinen speziellen. Hab eben meine schlauen Mathebücher (die ich mir damals fürs Studium zugelegt hatte) geholt und da steht unter Monotonie nur das drin, was vorhin erörtert wurde. Unter Ableitungen findet man nichts mit Monotonie.

Die 1. Ableitung in der Differnzialrechung bringt immmer die Steigung. Setzt man in diese Ableitung einen bestimmten Abszissenwert der Originalkurve ein, bekommt man für den Punkt der Kurve (definiert über die Ordinate) die Steigung an dieser Stelle heraus. Die Steigung an dieser Stelle entspricht der Tangente, welche partykiller hier auch schon angesprochen hat.

Ableitungsregeln zu erläutern wird aber ziemlich mühselig ;)
 
Rossi, ein bisschen was ist hängengeblieben.

Die Ableitungen bilden ist nicht ganz so schwer.

Die erste Ableitung zeigt die Kurvensteigung an. Beliebt ist die Frage nach den Nullstellen. Diese Nullstellen geben an, wo die Kurvensteigung Null ist, sie muss dort also einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt haben, die sogenannten "lokalen Extrema".
Welches der Fall ist, muss man in der zweiten Ableitung überprüfen, die zweite Ableitung zeigt nämlich wiederum das Steigungsverhalten der ersten Ableitung an.
Wenn man die herausgefundenen Nullstellenwerte (aus Ableitung 1) in die 2. Ableitung einsetzt und das Ergebnis ein negatives Vorzeichen hat, bedeutet das, dass nach diesem Wert die Steigung sinkt (dann war diese Nullstelle aus der ersten Ableitung offensichtlich ein Hochpunkt, denn danach geht es halt nur noch abwärts).
Wenn der Ergebnis-Wert in der 2. Ableitung positiv ist, war die Nullstelle aus der ersten Ableitung wohl ein Tiefpunkt, denn danach kann es ja nur noch aufwärts gehen.

Ableitungen bilden ist nicht ganz so schwer.
Man schnappt sich die Ursprungsfunktion und geht die einzelnen Potenzen durch.

Dann reduziert man die jeweiligen Exponenten um 1 und klatscht den alten Exponenten als Multiplikator vor die neue Potenz.

BSP: aus 3x^3 wird in der Ableitung (3*3)x^2.

Ich hoffe mal, ich habe das noch einigermaßen richtig zusammengebracht! Falls nicht, möge man mich korrigieren.
 
Ableiten ist einfach, solange man nicht die Produkt- oder Quotientenregel anwenden muss. Oki, da muss man dann auch nur wissen, wie die Regel angewand wird und das passt!

Die Hauptfrage bleibt aber immernoch: Was hat die 1. Ableitung der Differnzialrechnung explizit mit der Monotonie zu tun? Das erschließt sich mir noch nicht!
 
@pk & perfekt:

Ok... langsam wird es etwas heller!

Ich darf mal zusammenfassen:

1. Die erste Ableitung einer Funktion ist dazu da, um die Steigung zu berechnen.

2. Man kann damit die lokalen Extrema bestimmen (wie?)

3. Vor und hinter den Extrema kann sich ein bestimmtes Steigungsverhalten (monoton oder nicht monoton) zeigen....

Stimmt das ungefähr?
 
perfect007 hat folgendes geschrieben:

Ableiten ist einfach, solange man nicht die Produkt- oder Quotientenregel anwenden muss. Oki, da muss man dann auch nur wissen, wie die Regel angewand wird und das passt!


Die Hauptfrage bleibt aber immernoch: Was hat die 1. Ableitung der Differnzialrechnung explizit mit der Monotonie zu tun? Das erschließt sich mir noch nicht!

Mir auch noch nicht so ganz.. :nut:
 
Zu 1)
Ich denke in den meisten Anwendungsfällen ja.

Zu 2)
partykiller hat das Berechnen der Extrema schon beschrieben.

Du musst die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen, die daraus erechneten Abszissenwerte (x-Werte) stellen die Positionen der Extrema dar.

Diese in die Originalfunktion eingesetzt ergeben die dazugehörige Ordinate (y-Wert).

Für die Bestimmung, ob die Kurve an dieser Stelle den Höhepunkt überschreitet oder einen Tiefpunkt hat, brauchst du noch die 2. Ableitung. Das hat partykiller aber ebenfalls schon beschrieben.

Zu 3)
Vor oder hinter der Extrema MUSS die Kurve bis zum nächsten Extrema nach der Definition von Monotonie ein monotones Verhalten zeigen. Das Extrema zeigt ja den "Wendepunkt" einer Kurve auf. Dort wechselt das Vorzeichen der Steigung und somit wird die Monotonie an dieser Stelle unterbrochen. Oder?
Ein "Sattelpunkt" dürfte die Monotonie allerdings nicht durchbrechen. Hier fallen eine gerade Anzahl an Nullstellen aus der 1. Ableitung zusammen, darum gibt es kein Extrema, das wird gleich wieder durchbrochen, da die Kurve hier zwar eine Steigung von Null hat, aber gleich wieder in der ursprüngliche Steigungsform (positiv oder negativ) weiter geht.

Kurz zusammengefasst: Ich denke von Extrema zu Extrema muss die Kurve ein monotones Verhalten aufweisen, mal schauen was partykiller dazu sagt :P
 
rossi hat folgendes geschrieben:

@pk & perfekt:


Ok... langsam wird es etwas heller!


Ich darf mal zusammenfassen:


1. Die erste Ableitung einer Funktion ist dazu da, um die Steigung zu berechnen.


2. Man kann damit die lokalen Extrema bestimmen (wie?)


3. Vor und hinter den Extrema kann sich ein bestimmtes Steigungsverhalten (monoton oder nicht monoton) zeigen....


Stimmt das ungefähr?
zu 2.
die lokalen Extrema sind Hoch- oder Tiefpunkte einer Kurve. Das bedeutet, dass dort die Steigung 0 sein muss.
Also: die erste Ableitung bilden und herausfinden, welche Werte diese Ableitung auf null bringen, daher meinte ich vorhin, man muss die Nullstellen herausfinden.
Die Überprüfung dieser Punkte in der zweiten Ableitung bringt dann zum Vorschein, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt war.
Wenn die zweite Ableitung mit den Werten der Nullstellen (aus Ableitung 1) einen negativen Wert bringt, hatte man es mit einem Hochpunkt zu tun. Wenn der Wert positiv ist, war es ein Tiefpunkt.

@perfect
Recht hast Du, wenn diese Spezialregeln greifen (Quotienten,- Ketten- und Produktregel), dann ist allein das Umformen der Funktionen nicht mehr so witzig.

Das mit dem Wendepunkt und dem Sattelpunkt habe ich nie so richtig verstanden, aber ich glaube, Du hast recht, wenn Du sagst, dass an einem Wendepunkt in einer Kurve ein Vorzeichenwechsel in der Steigung stattfindet.
Der Sattelpunkt ist ein Sonderfall eines Wendepunktes, oder? Da ist die Steigung zwar Null, aber die zweite Ableitung liefert ebenfalls den Wert null, so dass man weder hoch- noch tiefpunkt vor sich hat, sondern eine Art Zwischenhoch oder Zwischentief.

Erklärungsversuch: man steigt auf einen Berg und glaubt, am Gipfel zu sein, aber man ist nur auf einem Plateau angelangt (Plateau=Steigung 0), in Wirklichkeit muss man noch eine Kletterpartie einlegen, um zu einem Extremum zu gelangen, dem wirklichen Gipfel. Das gleiche gilt, wenn man auf dem Weg nach unten ist.

Mathematischer ausgedrückt:
1. Ableitung ist null (keine Steigung)
2. Ableitung ist interessanterweise auch null (also weder Hochpunkt noch Tiefpunkt), denn auf dem Plateau ist erst einmal Ruhe
3. Ableitung: hm, die müsste jetzt bei der Überprüfung der Werte entweder einen positiven oder negativen Wert liefern.
Positiv heißt: Zwischenhoch, es geht noch weiter nach oben
Negativ heißt: Zwischentief, es geht noch weiter nach unten

@perfect
macht das in etwa Sinn? Ich habe es so ungefähr in Erinnerung.
Und im Endeffekt müsste man anhand Deiner Monotonieausführungen dann wohl schon an der zweiten Ableitung anhand des Vorzeichens zu einem Wert (+/-) eine Aussage zum Monotonieverhalten treffen können, oder?
 
OK... immer wieder ein Stückchen heller....

Also kann ich mich ja schon mal in dem Referat gar nicht auf die erste Ableitung beschränken, sondern muß auch noch die zweite Ableitung machen, damit ich überhaupt bestimmen kann, welches MNonotonieverhalten da ist.... puh...
Irgendwie kann man das doch gar nicht alles in zwanzig Minuten abhandeln? Was könnte der Lehrer denn dann meinen? Der kann ja nicht wollen, daß sie beide Ableitungen erklärt und dann noch die entsprechenden Monotonien abhandelt... Habt Ihr da ne Idee?

Sie sagt gerade, der Lehrer habe gemeint:
Er schneidet die "Ableitungen" an, sie müsse dann Monotonie an Beispielen erklären...

Vielleicht sollte man den Lehrer noch mal um Präzision bitten, was mein Ihr?
 
ich habe gerade oben im Post noch ein wenig hinzugefügt, vielleicht wird es dadurch etwas klarer.

Eine etwas präzisere Aufgabenstellung ist immer wünschenswert.
 
Der ganze Thread -----> :nut::nut::nut:

Infitesi.... :nut:

Hätts nicht Geschichte oder Englisch oder so sein können!
Wollte ne gute Tat vollbringen! :(
 
@partykiller:
Deine Ausführungen klingen wirklich gut. Ich kann mathematische Sachen einfach nicht beschreiben, du scheinst da ein Talent zu haben. Und ja, das mit dem Sattelpunkt müsste so gewesen sein - die Bergsteigeaktion verdeutlicht die Art der Kurve einmalig gut ;)

@rossi:
Wäre vielleicht nett, wenn er sich präziser ausdrücken könnte. Ich habe mal die Eingangsfrage bzw. die von dir genannte Themenstellung an einen Kumpel in ICQ weiter geleitet. Der war bei uns im Studium unschlagbar in Mathe und hat das was der Prof erzählt hat auch tatsächlich kapiert und nicht nur stur wie Marionetten ausgeführt (so wie ich halt :D ). Vielleicht kann er sich noch was speziellen im Zusammengang Monotonie und 1. Ableitung vorstellen!
 
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