rossi hat folgendes geschrieben:
@pk & perfekt:
Ok... langsam wird es etwas heller!
Ich darf mal zusammenfassen:
1. Die erste Ableitung einer Funktion ist dazu da, um die Steigung zu berechnen.
2. Man kann damit die lokalen Extrema bestimmen (wie?)
3. Vor und hinter den Extrema kann sich ein bestimmtes Steigungsverhalten (monoton oder nicht monoton) zeigen....
Stimmt das ungefähr?
zu 2.
die lokalen Extrema sind Hoch- oder Tiefpunkte einer Kurve. Das bedeutet, dass dort die Steigung 0 sein muss.
Also: die erste Ableitung bilden und herausfinden, welche Werte diese Ableitung auf null bringen, daher meinte ich vorhin, man muss die Nullstellen herausfinden.
Die Überprüfung dieser Punkte in der zweiten Ableitung bringt dann zum Vorschein, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt war.
Wenn die zweite Ableitung mit den Werten der Nullstellen (aus Ableitung 1) einen negativen Wert bringt, hatte man es mit einem Hochpunkt zu tun. Wenn der Wert positiv ist, war es ein Tiefpunkt.
@perfect
Recht hast Du, wenn diese Spezialregeln greifen (Quotienten,- Ketten- und Produktregel), dann ist allein das Umformen der Funktionen nicht mehr so witzig.
Das mit dem Wendepunkt und dem Sattelpunkt habe ich nie so richtig verstanden, aber ich glaube, Du hast recht, wenn Du sagst, dass an einem Wendepunkt in einer Kurve ein Vorzeichenwechsel in der Steigung stattfindet.
Der Sattelpunkt ist ein Sonderfall eines Wendepunktes, oder? Da ist die Steigung zwar Null, aber die zweite Ableitung liefert ebenfalls den Wert null, so dass man weder hoch- noch tiefpunkt vor sich hat, sondern eine Art Zwischenhoch oder Zwischentief.
Erklärungsversuch: man steigt auf einen Berg und glaubt, am Gipfel zu sein, aber man ist nur auf einem Plateau angelangt (Plateau=Steigung 0), in Wirklichkeit muss man noch eine Kletterpartie einlegen, um zu einem Extremum zu gelangen, dem wirklichen Gipfel. Das gleiche gilt, wenn man auf dem Weg nach unten ist.
Mathematischer ausgedrückt:
1. Ableitung ist null (keine Steigung)
2. Ableitung ist interessanterweise auch null (also weder Hochpunkt noch Tiefpunkt), denn auf dem Plateau ist erst einmal Ruhe
3. Ableitung: hm, die müsste jetzt bei der Überprüfung der Werte entweder einen positiven oder negativen Wert liefern.
Positiv heißt: Zwischenhoch, es geht noch weiter nach oben
Negativ heißt: Zwischentief, es geht noch weiter nach unten
@perfect
macht das in etwa Sinn? Ich habe es so ungefähr in Erinnerung.
Und im Endeffekt müsste man anhand Deiner Monotonieausführungen dann wohl schon an der zweiten Ableitung anhand des Vorzeichens zu einem Wert (+/-) eine Aussage zum Monotonieverhalten treffen können, oder?